マクスウェルの方程式 v0.4・ポインティングの定理（7 章）を追加／照査済み（正確性・見やすさ。2026-10-12）・運営者の確認は未

0. はじめに: 4 本の式と、ここでの約束

微分形（各点で成り立つ形）

積分形（面や道の全体で成り立つ形）

このページでの約束

• 単位は SI（国際単位系）。E は電場［V/m］、B は磁束密度［T］、ρ は電荷密度［C/m³］、J は電流密度［A/m²］、ε₀ は真空の誘電率［F/m］、μ₀ は真空の透磁率［H/m ＝ N/A²］。
• 真空と、そこに置いた電荷・電流だけを扱います。物質（誘電体・磁性体）の中の分極・磁化を、D・H に分けて書く形は、ここでは扱いません（準備中）。導線の中の電子も、ここでは「電流 J」としてまとめて扱います。
• 向きの約束は、数式コーナーと同じ: 座標は右手系、閉じた面の法線 n̂ は外向き、道 C とそれを縁とする面 S は右ねじで組にする（積分定理）。
• 流束: 面 S を通り抜ける量 ∫F·n̂ dS（面の各点で、面に垂直な成分を足し合わせたもの）。閉じた面なら ∮ と書きます（数式コーナー 4 章）。電場の流束を Φ_E、磁場の流束（磁束）を Φ_B と書きます。
• 「つくる」という言い方について（異論あり）: 教科書では「変化する磁場が電場をつくる」と言うことが多いのですが、マクスウェルの方程式は、同じ時刻の場どうしの関係を表す式で、場の源は電荷と電流だ、とする見方もあります（Claude の知識。出典は未確認）。このページでは、なるべく「ともなう」「ある」と書きます。
• 記号の意味: ∇· は div（4 章）、∇× は rot（5 章）、∇² はラプラシアン（6 章）。微分形と積分形は、ガウスの定理・ストークスの定理（8 章）で行き来できます。

1. ガウスの法則（電場）: ∇·E ＝ ρ/ε₀

ひとことで: 電場は、正の電荷から湧き出し、負の電荷に吸い込まれます。閉じた面から出る電場の量（流束）は、面の中の電荷の合計に比例します。

① 定義

1 行目の左が微分形（各点で、電場の湧き出し（div）は、その点の電荷密度 ÷ ε₀）、右が積分形（閉じた面 S から外へ出る電場の流束は、S の中の電荷の合計 Q_中 ÷ ε₀）。2 つは、ガウスの定理 ∮E·n̂ dS ＝ ∫∇·E dV で結ばれます（数式コーナー 8 章）。2〜4 行目は、点電荷のまわりの球面（中心に電荷）での確かめ: 球面の上では E が面に垂直で大きさが一定なので、流束 ＝ E × 面積 4πR² ＝ q/ε₀ で、R によりません。

② 意味

電場の「矢印の出入り」を、閉じた面で数えると、中の電荷の量だけが残ります。面の形・大きさ・電荷の位置（中にある限り）は関係ありません。外の電荷の電場は、面の一方から入って、反対側から同じだけ出るので、正味 0 です。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. 点電荷 q の電場の大きさは、q から距離 R のところで E ＝ q/(4πε₀R²)（クーロンの法則）。向きは、q から遠ざかる向き（q ＞ 0 のとき）。
2. 中心に q がある球面では、E は、面のどこでも面に垂直（法線 n̂ と同じ向き）で、大きさが同じ（対称性）。なので E·n̂ ＝ E で、面の上で足すとは、E × 面積の掛け算になる。
3. 球の表面積は 4πR²。流束 ＝ E × 4πR² ＝ q/(4πε₀R²) × 4πR² ＝ q/ε₀。分母と分子の R² と 4π が消えて、半径 R に関係しない。
4. q ＝ 10⁻⁹ C を入れる: q/ε₀ ＝ 10⁻⁹ ÷ 8.854×10⁻¹² ≈ 112.9 V·m（次の段落の数値と同じ）。

q ＝ 1 nC ＝ 10⁻⁹ C のとき、q/ε₀ ＝ 112.9 V·m。中心に置いたときの、半径 0.1 m での電場は 898.8 V/m、球の面積は 4π × 0.1² ＝ 0.1257 m²。掛けると 112.9 V·m です。図のように中心からずらしても、球面を 200 × 400 に分けた数値積分で 112.9 V·m（相対差 10⁻⁵ 以下）。外の −2 nC だけの流束は −4.6×10⁻⁴ V·m（正しくは 0。これは数値積分の誤差で、2 nC/ε₀ ≈ 226 V·m の 10⁻⁵ 以下）。

2. ガウスの法則（磁場）: ∇·B ＝ 0

ひとことで: 磁場は、湧き出しも吸い込みもありません。磁力線には、始まりも終わりもありません（N だけ・S だけの磁石は、見つかっていません）。

① 定義

1 行目: どの点でも、磁場の湧き出しは 0。積分形では、どんな閉じた面を通る磁束も 0。2 行目は、図に使った磁気双極子（小さな電流のループや、小さな棒磁石を、遠くから見た形）の B です（m は磁気モーメント［A·m²］、r̂ は双極子から見た向き）。

② 意味

電場の①と比べると、右辺の「電荷」に当たるもの（磁荷・単独の N 極や S 極 ＝ 磁気単極子）がありません。棒磁石を切っても、N 極だけ・S 極だけにはならず、それぞれが N と S をもつ磁石になります。磁力線は、どこかで始まったり終わったりしません（棒磁石や直線電流のような教科書の例では閉じた輪になりますが、一般には、閉じずに巻き続ける線や、無限の遠くへのびる線もありえます。出典の “Gauss's law for magnetism”）。

③ 具体例

図の球面で、B·n̂ を 200 × 400 に分けて数値積分すると、正味の磁束は 0.0000 T·m²（計算値 −2×10⁻¹⁰ 程度。数値積分の誤差）。比べる大きさとして、出入りの量の合計 ∮|B·n̂| dS は 1.40×10⁻⁵ T·m² で、正味はその 10⁻⁴ 以下です。磁石を球の中心からずらしても、0 のままです（自作の検算プログラム（非公開） では、直線電流のまわりの B でも確かめています）。

3. ファラデーの法則: ∇×E ＝ −∂B/∂t

ひとことで: 磁場が時間とともに変わると、そのまわりに電場の渦ができます（電磁誘導）。そこに導線の輪があれば、流れる電流の向きは、磁束の変化をさまたげる向きです（レンツの法則）。

① 定義

左が微分形、右が積分形で、ストークスの定理 ∮E·dl ＝ ∫(∇×E)·n̂ dS で結ばれます（数式コーナー 8 章。面 S が動かないとき、−∫∂B/∂t·n̂ dS ＝ −dΦ_B/dt）。∮E·dl は、道 C をひと回りしたときの起電力［V］です。向きの約束: C をたどる向きに右手の指を巻いたとき、親指の向きが n̂ で、Φ_B はその向きに貫く磁束です。

② 意味と、レンツの法則（− の符号）

磁束が増えると、−dΦ_B/dt は負なので、C を決めた向き（反時計まわり）とは逆向き（時計まわり）に電場が回ります。そこに導線の輪があれば、電流も時計まわりに流れ、その電流がつくる磁場は、輪の中で −z の向き、つまり増えようとする磁束を打ち消す向きです。これがレンツの法則で、式の「−」が、それを表しています。静電場（E ＝ −∇V）は渦をもちません（∇×E ＝ 0）が、磁場が変わるときの電場は渦をもち、ひと回りの仕事が 0 になりません。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. 対称性: B が z 軸のまわりに対称に変わるなら、誘導電場 E は、軸のまわりを回る向き（φ̂）で、軸から同じ距離 ρ の円の上では、大きさが同じ（E_φ）。
2. 左辺 ∮E·dl: 円に沿って、E は道の向きと同じ（または逆）で、大きさが一定なので、E_φ × 円周 ＝ E_φ · 2πρ。
3. 右辺 −dΦ_B/dt: 半径 ρ の円を貫く磁束は、B × 面積 ＝ B · πρ²。πρ² は時間で変わらないので、微分すると −πρ² dB/dt。
4. 左辺 ＝ 右辺: E_φ · 2πρ ＝ −πρ² dB/dt。両辺を 2πρ で割ると、E_φ ＝ −(ρ/2) dB/dt。
5. 数値: ρ ＝ a ＝ 0.1 m、dB/dt ＝ 0.5 T/s で E_φ ＝ −(0.1/2) × 0.5 ＝ −0.025 V/m。ひと回りの電圧は、−0.025 × 2π × 0.1 ≈ −0.01571 V（−dΦ_B/dt ＝ −π × 0.1² × 0.5 と同じ）。負は、時計まわり。

B が、軸（z 軸）のまわりに対称な円柱の領域で一様に増えるとき（例: 長いソレノイド ＝ 長いコイルの中）、電荷がなく、まわりも軸対称なら、対称性から、誘導電場は円の向き（φ̂ ＝ 方位角の向きの単位ベクトル。数式コーナー 9 章）で、半径 ρ の円の上で大きさが一定です。1 行目はループの半径 a、2 行目は、B が一様な領域の中の任意の半径 ρ の円です。2 行目の左辺は ∮E·dl ＝ E_φ × 円周 2πρ、右辺は −dΦ_B/dt（Φ_B ＝ πρ²B）で、これから E_φ ＝ −(ρ/2) dB/dt が出ます。a ＝ 0.1 m、dB/dt ＝ 0.5 T/s（いまの B ＝ 0.2 T）のとき、Φ_B ＝ π × 0.1² × 0.2 ＝ 0.006283 Wb、dΦ_B/dt ＝ 0.01571 Wb/s（時間の数値微分）。円をひと回りした ∮E·dl（数値の線積分）＝ −0.01571 V で、−dΦ_B/dt と一致します。円の上の電場は E_φ ＝ −0.025 V/m（負 ＝ 時計まわり）。微分形でも、この電場の rot の z 成分は −dB/dt ＝ −0.5 T/s（自作の検算プログラム（非公開） の数値微分）。

4. アンペール・マクスウェルの法則と変位電流

ひとことで: 磁場の渦は、電流がつくります。さらに、電場が時間とともに変わるところにも、磁場の渦があります（変位電流）。これが、マクスウェルの足した項です。

① 定義

1 行目が微分形、2 行目が積分形（ストークスの定理で結ばれる）。I_貫く は、C を縁とする面 S を、n̂ の向きに貫く電流、Φ_E は、S を貫く電場の流束。第 2 項の ε₀ ∂E/∂t（面で積分すると ε₀ dΦ_E/dt）を、変位電流（密度）と呼びます。3〜5 行目は、電場が変わらない場合（直線電流のまわり）の確かめで、軸のまわりの対称性から、B は円の向きで、半径 r の円の上で大きさが一定です。

② 意味: なぜ変位電流が要るか

図 (b) で、道 C は導線を囲む同じ輪です。面 S₁ を選べば、右辺は μ₀I。面 S₂ を選ぶと、極板のあいだには電流（電荷の流れ）がないので、変位電流の項がなければ右辺は 0 になり、同じ道 C の左辺が、面の選び方で違う値になるという矛盾が出ます。マクスウェルが足した ε₀ dΦ_E/dt が、ちょうどこの差を埋めます。下の具体例で、それが I に等しいことを確かめます。

1・2 行目は、ガウスの法則と電荷の保存にもとづく関係で、近似なのは、S₁ を通る電場を無視するところだけです（無視しなければ、S₁ の伝導電流と変位電流の和が、S₂ の変位電流に等しい、という厳密な関係です）: ＋Q の極板を包む閉じた面（S₁ と S₂ を合わせた面）に、①のガウスの法則を使うと、その面を外へ出る電場の流束は Q/ε₀。導線の中と、S₁ を通る極板の外の電場を無視できるとき、この流束は S₂ を貫く Φ_E なので Q ＝ ε₀Φ_E、時間で微分して I ＝ dQ/dt ＝ ε₀ dΦ_E/dt（この関係は、極板の端の電場のはみ出しがあっても成り立ちます）。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. 直線電流: 電流が流れる長い直線のまわりでは、対称性から、B は円の向き（導線を軸に回る向き）で、半径 r の円の上では大きさが同じ。電場は変わらないので、右辺の変位電流の項は 0。
2. 左辺 ∮B·dl ＝ B × 円周 2πr。右辺 ＝ μ₀I（円が囲む電流）。B · 2πr ＝ μ₀I から B ＝ μ₀I/(2πr)。
3. I ＝ 10 A、r ＝ 0.05 m、μ₀ ≈ 1.2566×10⁻⁶ N/A² を入れると、B ＝ 1.2566×10⁻⁶ × 10 ÷ (2π × 0.05) ≈ 4.0×10⁻⁵ T。
4. コンデンサ: 極板のあいだの電場を一様とすると、E ＝ Q/(ε₀ · πR²)（面積 πR² の極板の電荷 Q から）。Q は I で増えるので、dE/dt ＝ I/(ε₀πR²)。
5. 円板（面積 πR²）を貫く電束 Φ_E ＝ E · πR²。ε₀ dΦ_E/dt ＝ ε₀ · πR² · dE/dt ＝ ε₀ · πR² · I/(ε₀πR²) ＝ I。変位電流は、導線の電流 I と等しい（ε₀ も πR² も消える）。
6. 数値: I ＝ 0.1 A、R ＝ 0.05 m で、dE/dt ＝ 0.1 ÷ (8.854×10⁻¹² × π × 0.05²) ≈ 1.438×10¹² V/(m·s)。

直線電流: I ＝ 10 A、r ＝ 0.05 m で、B ＝ μ₀I/(2πr) ＝ 4.000×10⁻⁵ T。円をひと回りした線積分（4000 分割）は 1.2566×10⁻⁵ T·m で、μ₀I ＝ 1.2566×10⁻⁵ T·m と一致。道を、導線を囲む（中心からずらした）正方形に変えても同じ、囲まない道では 0（自作の検算プログラム（非公開））。

コンデンサ（上の式の 3〜6 行目）: 半径 R ＝ 5 cm の円板の極板、間隔 1 mm、充電の電流 I ＝ 0.1 A。極板のあいだの電場を一様（端のはみ出しなし）とすると、E ＝ Q/(ε₀πR²) で、dE/dt ＝ 1.438×10¹² V/(m·s)。極板のあいだの円板で Φ_E を数値積分し、時間で数値微分して ε₀ を掛けると、ε₀ dΦ_E/dt ＝ 0.1000 A で、導線の電流 0.1 A と一致します。極板のあいだの磁場は、軸から r ＜ R では、半径 r の円を貫く変位電流が、電場が一様なので面積に比例して I·(r/R)² になり、B·2πr ＝ μ₀I(r/R)² から B ＝ μ₀I r/(2πR²)（r ＝ 2 cm で 1.600×10⁻⁷ T）、r ＞ R では、導線のまわりと同じ μ₀I/(2πr)（r ＝ 8 cm で 2.500×10⁻⁷ T）です。

5. 電磁波へ: 波動方程式と光の速さ

ひとことで: ③ と ④ を組み合わせると、電場と磁場が、たがいに結びついた波になって進みます。その速さは、電気と磁気の 2 つの定数だけで決まり、光の速さと一致します。

① 導出（途中を省かずに）

1. ③ ∇×E ＝ −∂B/∂t の両辺に、rot（∇×）をとる: ∇×(∇×E) ＝ ∇×(−∂B/∂t)。
2. 右辺: rot は空間での微分、∂/∂t は時間での微分で、順序を入れ替えてよい（場が滑らかなとき）。∇×(−∂B/∂t) ＝ −∂(∇×B)/∂t。
3. ④ ∇×B ＝ μ₀J ＋ μ₀ε₀ ∂E/∂t に、真空・電荷なし（J ＝ 0）を入れると、∇×B ＝ μ₀ε₀ ∂E/∂t。これを前の行に代入すると、∇×(∇×E) ＝ −μ₀ε₀ ∂²E/∂t²。
4. 左辺は、恒等式 ∇×(∇×E) ＝ ∇(∇·E) − ∇²E（7 章）を使う。電荷がないので、① から ∇·E ＝ 0。∇(0) ＝ 0 なので、左辺 ＝ −∇²E。
5. 3 行目と 4 行目を等しいとおくと、−∇²E ＝ −μ₀ε₀ ∂²E/∂t²、つまり ∇²E ＝ μ₀ε₀ ∂²E/∂t²。これは、速さ 1/√(μ₀ε₀) の波が満たす波動方程式（∇²E ＝ (1/c²) ∂²E/∂t²。c ＝ 1/√(μ₀ε₀)）の形。
6. なぜ「速さ c」か: 平面波 E_x ＝ E₀cos(kz − ωt) を入れる。z で 2 回微分すると −k²E_x、t で 2 回微分すると −ω²E_x。式に入れると k² ＝ μ₀ε₀ω² ＝ ω²/c²。波の山（kz − ωt が一定の点）は、z ＝ (ω/k)t ＋ 定数 と動くので、進む速さは ω/k ＝ c。

上の 6 つの段を、1 つの文にまとめると（記号は、式の下の「ここでの記号」）: (1) ③の両辺の rot をとります。右辺は、rot と時間の微分の順序を入れ替え（場が滑らかなとき）、④を代入（真空・電荷なしなので J ＝ 0）。(2) 左辺に、恒等式 ∇×(∇×A) ＝ ∇(∇·A) − ∇²A（数式コーナー 7 章。ここでは使うだけ。直交座標の成分で、∇² は成分ごと）を使い、①で ∇·E ＝ 0（電荷なし）。(3) 2 つを等しいとおくと、E の各成分が、速さ c の波動方程式を満たします。(4) なぜ「速さ c」か: 平面波 E_x ＝ E₀cos(kz − ωt) を入れると、z で 2 回微分して −k²、t で 2 回微分して −ω² が出るので、k² ＝ ω²/c²。波の山（kz − ωt が一定の点）は、時間 t のあいだに ωt/k だけ進むので、進む速さ（位相速度。波の山が進む速さ）は ω/k ＝ c です。B についても、同じ式になります（下の折りたたみ）。

② 光の速さ（数値）

NIST の定数のページ（CODATA 2022 の推奨値）の μ₀ ＝ 1.25663706127×10⁻⁶ N/A²、ε₀ ＝ 8.8541878188×10⁻¹² F/m を入れると、c ＝ 299792458.0 m/s。光速の定義値 299 792 458 m/s との相対差は、約 6×10⁻¹³ で、表の値の丸めの大きさです。

注意（このサイトの定数の扱い）: c は、1983 年から、定義された値（299 792 458 m/s。誤差なし）です。2019 年の SI 改定で、μ₀（それまでは 4π×10⁻⁷ N/A² と定義）と ε₀ が、測って決める値になりました。2 つは ε₀ ＝ 1/(μ₀c²) で結ばれ、この関係は、定義により厳密に成り立ちます。μ₀ の値は微細構造定数 α から決まり（μ₀ ＝ 2αh/(e²c)。h・e・c は定義された値なので、μ₀ の不確かさは α の不確かさそのものです）、CODATA の ε₀ も、この μ₀ から計算されています。そのため、上の計算は「光の速さを測った」ことにはならず、定数の組が式と食い違わないことの確かめです。このサイトの計算（model.js）は、μ₀ に CODATA 2018 の値 1.25663706212×10⁻⁶ を使い、ε₀ を 1/(μ₀c²) で決めているので、c ＝ 1/√(μ₀ε₀) は、計算の丸めを除いてちょうど c です（299792458 m/s）。歴史的には、電気と磁気の実験で測った 2 つの定数から出した速さが、別に測られていた光の速さと合ったことが、光が電磁波であることの手がかりになりました（出典の “Maxwell's equations”）。

③ 平面波の具体例

波長 λ ＝ 1 m なら、k ＝ 2π/λ ＝ 6.283 rad/m、ω ＝ ck ＝ 1.884×10⁹ rad/s（周波数 約 300 MHz）。E₀ ＝ 1 V/m のとき、B の振幅は E₀/c ＝ 3.336×10⁻⁹ T。3・4 行目は、③と④の成分を、この平面波に当てはめたもので（③の y 成分は ∂E_x/∂z − ∂E_z/∂x で、E_z ＝ 0 なので ∂E_x/∂z だけが残る。④の x 成分は ∂B_z/∂y − ∂B_y/∂z で、B_z ＝ 0 なので −∂B_y/∂z）、どちらも成り立つのは ω ＝ ck のときだけです（自作の検算プログラム（非公開） で、数値微分により確かめています）。エネルギーの流れ（ポインティング・ベクトル）S ＝ E×B/μ₀ は、進む向き ＋z を向き、その大きさは、山のところで E₀²/(μ₀c) ＝ 0.002654 W/m²、時間の平均で E₀²/(2μ₀c) ＝ 0.001327 W/m² です。

6. 4 本の式のまとめ（微分形と積分形）

ひとことで: 4 本の式は、1 点のまわりの関係（微分形）と、閉じた面・閉じた道の全体の関係（積分形）の 2 通りに書けて、2 つは同じ内容です。2 つを結ぶのが、ガウスの定理とストークスの定理です。

微分形と積分形が「同じ内容」だと言える理由（ガウスの法則①を例に、1 段ずつ）

1. 積分形から始める: 任意の閉じた面 S（囲む体積を V）について、∮_S E·n̂ dS ＝ Q_中/ε₀。
2. 左辺にガウスの定理を使う（数式コーナー 8 章）: 閉じた面から出る流束は、中の div の体積積分に等しい。∮_S E·n̂ dS ＝ ∫_V ∇·E dV。
3. 右辺の電荷を、密度で書く: Q_中 ＝ ∫_V ρ dV。
4. 1 つの式にまとめる: ∫_V (∇·E − ρ/ε₀) dV ＝ 0。これが、どんな体積 V でも成り立つ、というのが積分形の内容です。
5. 「どんな V でも」から、中身が 0: もし、ある点で (∇·E − ρ/ε₀) が 0 でなく、∇·E と ρ が連続なら、その点のまわりの十分小さな体積 V の上で、この量の符号は変わらず、積分は 0 になりません。矛盾なので、その点でも ∇·E ＝ ρ/ε₀ です。
6. 逆向き（微分形 → 積分形）: 微分形の両辺を、任意の V で体積積分し、左辺にガウスの定理を使えば、積分形が出ます。

ほかの 3 本も、同じ型です。② ∮_S B·n̂ dS ＝ 0: ガウスの定理で ∫_V ∇·B dV ＝ 0 となり、任意の V で成り立つので ∇·B ＝ 0。③ ファラデー: ストークスの定理で ∮_C E·dl ＝ ∫_S (∇×E)·n̂ dS。右辺の −dΦ_B/dt は、道 C と面 S が時間で動かないとすると、d/dt を積分の中に入れて −∫_S (∂B/∂t)·n̂ dS。移して ∫_S (∇×E ＋ ∂B/∂t)·n̂ dS ＝ 0 が、任意の面で成り立ちます。面の向き n̂ を x̂・ŷ・ẑ の向きにとれば、成分ごとに被積分関数が 0 になるので ∇×E ＝ −∂B/∂t（道 C の向きと n̂ の向きは、右ねじの約束。数式コーナー 8 章）。④ アンペール・マクスウェル: 同じく、貫く電流 I ＝ ∫_S J·n̂ dS と、dΦ_E/dt ＝ ∫_S (∂E/∂t)·n̂ dS を使います。

③・④の積分形は、道が動かない場合の形です。③は、道が動くとき（動く導体の起電力）は、道といっしょに動く人が感じる (E ＋ v×B) を道に沿って足す形（∮(E ＋ v×B)·dl ＝ −dΦ_B/dt）になります（標準的な結果。Claude の知識で、このサイトでは未検算。「動く導体」は準備中）。

4 本を合わせると、(a) 電荷の保存（4 章の折りたたみ ④）と、(b) 真空を速さ c で伝わる電磁波（5 章）、(c) 電磁場のエネルギーの保存（ポインティングの定理。7 章）が、式から出てきます。このほかに、電荷が場から受ける力（ローレンツ力 F ＝ q(E ＋ v × B)）を合わせると、古典的な電磁気学の基本がそろいます（ローレンツ力の解説は、このページでは扱いません）。

前提: 電磁気学の数式（ベクトル解析）（∇・div・rot・積分定理・恒等式）。次: 物質の中のマクスウェルの方程式（準備中）。

7. エネルギーの保存: ポインティングの定理

ひとことで: 電場と磁場にはエネルギーがあり、流れます。4 本の式から、「ある領域の中の場のエネルギーの減り ＝ 表面から外へ出ていく流れ ＋ 電荷に渡した仕事（熱など）」が導けます。電流が流れる導線で熱になるエネルギーは、導線のまわりの空間から、側面を通って入ってくる、と読めます。

① 導出（途中を省かずに）

1. E × B/μ₀（あとで S と名づける量）の div をとる（1〜2 行目）。この量から始めるのは、結果として、∂u/∂t と J·E が現れて、保存則の形になるからです。数式コーナー 7 章の恒等式 ∇·(E×H) ＝ H·(∇×E) − E·(∇×H) に、H ＝ B/μ₀ を入れる（μ₀ は定数なので、微分の外に出せる）。
2. ファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則を代入する（3 行目）。∇×E に −∂B/∂t（③）、∇×B に μ₀J ＋ μ₀ε₀ ∂E/∂t（④）を入れる。
3. かっこをほどいて、μ₀ を約分する（4 行目）。E の項は、−(1/μ₀)E·(μ₀J) ＝ −J·E、−(1/μ₀)E·(μ₀ε₀ ∂E/∂t) ＝ −ε₀E·∂E/∂t。B の項は 1/μ₀ のまま。
4. 内積と時間微分を、1 つの微分にまとめる（5 行目）。積の微分で ∂(B·B)/∂t ＝ 2B·∂B/∂t なので、B·∂B/∂t ＝ ∂(B²/2)/∂t（B² ＝ B·B）。E も同じ。よって −(1/μ₀)B·∂B/∂t − ε₀E·∂E/∂t ＝ −∂/∂t [B²/(2μ₀) ＋ ε₀E²/2]。
5. 名前をつける（6 行目）。S ＝ E×B/μ₀（ポインティングベクトル）、u ＝ ε₀E²/2 ＋ B²/(2μ₀)（電磁場のエネルギー密度）。
6. 移項する（7 行目）。∇·S ＋ ∂u/∂t ＝ −J·E。これが、ポインティングの定理（微分形）です。
7. 単位の確かめ（自作の計算）。S: (V/m)·T ÷ (T·m/A) ＝ V·A/m² ＝ W/m²。u: ε₀E² ＝ (F/m)(V/m)² ＝ J/m³。J·E: (A/m²)(V/m) ＝ W/m³。∇·S: (W/m²)/m ＝ W/m³、∂u/∂t: (J/m³)/s ＝ W/m³。すべての項が W/m³ でそろう。

② 意味

• u: 場が、単位体積にたくわえているエネルギー。電場の分 ε₀E²/2 と、磁場の分 B²/(2μ₀)。真空の平面波では、2 つが等しい（5 章④）。
• S: エネルギーの流れ。向きが流れる向き、大きさが「単位面積を単位時間に通るエネルギー」。向きは、E から B へ右ねじを回したときに進む向き。
• J·E: 電場が、電荷に対して、単位時間・単位体積あたりにする仕事。＋のとき、場から電荷へエネルギーが渡る（抵抗のある導線では、J ＝ σE なので σE²。ジュール熱）。−のとき、電荷から場へ（電池・発電機など）。
• 式の意味: ある点で、場のエネルギーが減る（∂u/∂t ＜ 0）なら、その分は、そこから流れ出る（∇·S ＞ 0）か、電荷に渡される（J·E ＞ 0）。

積分形。領域 V（時間で動かない）の全体にわたって、微分形を体積積分し、∇·S の積分にガウスの定理（数式コーナー 8 章）を使います。

読み方: V の中の場のエネルギーの減る速さ ＝ V の表面から外へ出る S の合計 ＋ V の中の電荷に渡す仕事の合計。

③ 具体例（数値）

(a) 真空の平面波（J ＝ 0。5 章と同じ波: λ ＝ 1 m、E₀ ＝ 1 V/m）。z ＝ 0.1 m、t ＝ 0 の点（位相 kz ＝ 0.6283 rad）で、S の z 成分は 1.737×10⁻³ W/m²、u は 5.795×10⁻¹² J/m³。ここで、数値微分すると、∇·S ＝ ∂S_z/∂z ＝ −0.01586 W/m³、∂u/∂t ＝ 0.01586 W/m³。足すと 0（J ＝ 0 なので）。

確かめ（解析）: S_z ＝ E₀²cos²θ/(μ₀c)、u ＝ ε₀E₀²cos²θ（θ ＝ kz − ωt）。cos²θ の微分は、z では −k sin2θ、t では ＋ω sin2θ なので、∇·S ＝ −(E₀²k/(μ₀c)) sin2θ、∂u/∂t ＝ ε₀E₀²ω sin2θ。ω ＝ ck と、μ₀ε₀c² ＝ 1（5 章）の両辺を μ₀c で割った ε₀c ＝ 1/(μ₀c) から、ε₀ω ＝ ε₀ck ＝ k/(μ₀c) なので、2 つは打ち消し合います。エネルギーは、ある場所で増えたり減ったりしながら、波といっしょに進みます（増減の分が、S で運ばれる）。

(b) 電流が流れる導線（直流・定常。I ＝ 10 A、半径 a ＝ 1 mm、導電率 σ ＝ 5.8×10⁷ S/m。σ は、銅の値としてよく使われる数字で、ここでは例の設定）。

1. 電流密度 J ＝ I/(πa²) ＝ 3.183×10⁶ A/m²。導線の中の電場は、導線に沿って一様で、E_z ＝ J/σ ＝ 0.05488 V/m。
2. 導線の表面の磁場は、4 章の直線電流の式から、B ＝ μ₀I/(2πa) ＝ 2.000×10⁻³ T（導線のまわりを回る向き）。
3. S ＝ E×B/μ₀ の大きさは、導線の表面で E_zB/μ₀ ＝ 87.35 W/m²。向きは、ẑ × φ̂ ＝ −ρ̂（円柱座標の単位ベクトル。数式コーナー 9 章）なので、導線の中心へ向かう（図 7）。
4. 導線 1 m の側面を、内へ通る S の合計: このサイトの計算で、E と B から S を作って、側面で数値積分すると 0.5488 W/m。
5. 導線 1 m の中で熱になる分（J·E の合計）: σE_z² × πa² ＝ I²/(σπa²) ＝ 0.5488 W/m（断面での数値積分）。I²R′（R′ ＝ 1/(σπa²) は、1 m あたりの抵抗）と同じ。2 つが一致します（定常なので ∂u/∂t ＝ 0。積分形で、外向きの S の合計 ＝ −J·E の合計）。
6. 微分形でも確かめると、導線の中（中心から 0.5 mm）で、∇·S ＝ −1.747×10⁵ W/m³ で、J·E ＝ σE_z² ＝ 1.747×10⁵ W/m³。∇·S ＝ −J·E と一致します。