電磁気学の数式（ベクトル解析） v0.7・0 章の微分・偏微分・積分・線積分に「動く絵」（偏微分・線積分は 261014）、4 章 div・8 章 ガウス/ストークスに「動かせる 3D の絵」を追加（261013。3 章 grad・5 章 rot は 261012）・運営者の確認は未

0. おさらい: 微分・偏微分・積分・線積分・面積分

このページの式は、微分と積分の言葉で書かれています。1 章から先で式が出てきたとき、「この記号は何をしているのか」が分かるように、先に、高校の数学（微分・積分）から順に、図と数値で確かめます。高校の微分・積分（0-1・0-3）は、知っていれば飛ばしてかまいません。ただし、偏微分（0-2）・線積分（0-4）・面積分（0-5）は、高校では、ふつう習わないので、読んでから 1 章へ進むのがおすすめです（式の中の記号は、式のすぐ下に「ここでの記号」として、毎回、書いてあります）。

図の中の数値は、ページのコード（calcfig.js）が、式から計算したものです。本文の数値は、その計算と一致することを、自作の検算プログラム（非公開） で（手計算の答えとも）確かめています。

0-1. 微分: 「変化の割合」

動かして確かめる

h のスライダー（または紫の点のドラッグ）で、h を小さくしてみてください。紫の割線（グラフ上の 2 点を通る直線）が、琥珀の接線（1 点でふれる直線）に重なっていきます。「▶ h を 0 に近づける」で、自動で小さくしていきます。

① 定義

グラフの 1 点での「傾き」を、2 点を通る直線（割線）の傾き ［f の増え方］÷［x の増え方］ から、2 点を近づけて決めます。これが微分係数 f′(x) で、「x が少し増えたとき、f が、どれだけの割合で増えるか」を表します。

② 意味

f′(x) ＝ df/dx は「f の単位 ÷ x の単位」です（例: 位置 x［m］を時間 t［s］で微分すれば、速度［m/s］）。「lim_h→0」は「h を限りなく 0 に近づけたとき、その式が近づく値」。d は「ごく小さな変化」の記号で、df/dx は、割り算に見えますが、1 つの記号（f を x で微分したもの）として読みます。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. f(x) ＝ x² に、x ＝ 1 を入れて、割線の傾きを書く（f(1 ＋ h) ＝ (1 ＋ h)²、f(1) ＝ 1）。
2. (1 ＋ h)² を展開する: (1 ＋ h)² ＝ 1 ＋ 2h ＋ h²（展開の公式）。分子の 1 と −1 は消える。
3. 分子の 2h ＋ h² を h でくくって、分母の h と約分する: (2h ＋ h²)/h ＝ 2 ＋ h（h ≠ 0 のあいだは、約分してよい）。
4. h を 0 に近づけると、2 ＋ h は 2 に近づく。よって f′(1) ＝ 2。

数値で見ると、割線の傾きは、h ＝ 1 で 3、h ＝ 0.5 で 2.5、h ＝ 0.1 で 2.1、h ＝ 0.01 で 2.01。いつも 2 ＋ h になっています（上の 2 行目）。

0-2. 偏微分: 「ほかの変数を止めて、1 つだけ動かす」

電場や電位は、位置 (x, y, z) の 3 つの変数で決まる量です。f(x, y) のように変数が 2 つ以上あるとき、1 つだけ動かして、ほかを止めたときの変化の割合が偏微分です。記号は、微分の d の代わりに ∂（「ラウンドディー」と読む）を使います: ∂f/∂x は「y を止めて、x だけを動かしたときの、f の変化の割合」。

動かして確かめる

地図の上の白い点を動かすと、y を止めた切り口（橙）と、x を止めた切り口（紫）の曲線が変わります。それぞれの切り口は、変数が 1 つだけの関数なので、0-1 の微分がそのまま使えて、その接線（琥珀）の傾きが ∂f/∂x・∂f/∂y です。表では、割線の傾き（差分）で求めた数値と、偏微分の式の値が一致することを確かめられます。はじめの関数 x²y で、点を (1, 2) に動かすと、下の具体例の 4 と 1 になります。

具体例

f(x, y) ＝ x²y を、点 (1, 2) で。∂f/∂x は、y を定数として扱って、x で微分します: y は定数なので外に出せて、y·(x²)′ ＝ y·2x ＝ 2xy。点 (1, 2) では 2·1·2 ＝ 4。同じように、∂f/∂y は、x を定数として扱って、x²·(y)′ ＝ x²。点 (1, 2) では 1。

• 2 階の偏微分は、順番を入れかえても同じ（偏微分が連続なら。このページで使うのは、すべてこの場合）: ∂²f/∂x∂y ＝ ∂²f/∂y∂x。上の例では、どちらも 2x（∂f/∂x ＝ 2xy を y で微分しても、∂f/∂y ＝ x² を x で微分しても 2x）。7 章の恒等式の証明で使います。
• 図つきの説明（「x だけ動かす」「y だけ動かす」）は、2 章の図（V ＝ x² ＋ y²）にあります。

0-3. 積分: 「細かく分けて足す」

動かして確かめる

長方形の本数 n を増やすと、長方形の和が、正確な面積に近づいていきます（表の「差」）。高さを「中点の f」にすると、少ない本数でも、ずっと近くなります。

① 定義

区間 [a, b] を n 個に細かく分け、各区間の幅 Δx と、そこでの f の値を掛けた「細い長方形の面積」を足し合わせ、n → ∞ としたものが定積分 ∫_a^b f(x) dx です。

② 意味

∫ は、和（sum）の頭文字 S を縦に伸ばした形の記号で、「足す」ことを表します。dx は「ごく小さな幅 Δx」です。つまり、「f(x) × 小さな幅」を、a から b まで足す、という意味で、グラフの下の面積を表します（f が負のところは、負の面積）。f の単位 × x の単位になります（例: 速さ［m/s］を時間［s］で積分すれば、道のり［m］）。

③ 具体例（足していく様子）

長方形の本数 n を増やすと、和は、4 本で 0.21875、8 本（図）で 0.2734、10 本で 0.285、100 本で 0.32835、10 万本で 0.333328 と、1/3 ≈ 0.3333 に近づきます。足し算を無限に繰り返さなくても、次の定理で、正確な値が出ます。

f の微分の積分は、両端の f の差（微分積分学の基本定理）。x² の積分には、微分して x² になる関数 x³/3 を使います（(x³/3)′ ＝ x²）:

0-4. 線積分: 「道に沿って、細かく分けて足す」

動かして確かめる

道を N 個の小片に刻み、各小片で「場 F と、小片の進み Δr との内積」を足したものが、表の「刻んだ和」です。N を増やすと、正確な値（式で手計算した値）に近づきます。場と道を切りかえて、渦の場では道によって値が変わり、勾配の場では始点と終点だけで決まる（円を 1 周すると 0）ことを、確かめてみてください。「逆向きにたどる」で、正確な値の符号が逆になります。

① 定義

0-3 の積分は、まっすぐな x 軸に沿って足しました。線積分は、曲がった道 C に沿って、各点で「場 F と、道の小さな進み Δr との内積」を足し合わせたものです。内積 F·Δr ＝ F_xΔx ＋ F_yΔy ＋ F_zΔz は、「道の向きの成分の F × 進んだ長さ」。力 F が物体を道に沿って動かすときの仕事に当たります。

2 行目は、道を、s ＝ 0 から 1 まで動く 1 つの変数で表した形です（r(s) は、s のときの位置。dr/ds は、s が少し増えたときの位置の変化の割合）。実際の計算には、こちらを使います。

② 意味と向きの約束

• 向きがある: 道を逆向きにたどると、Δr の符号が逆になるので、線積分の符号が逆になります。
• ∮（積分記号に○）は、始点と終点が同じ閉じた道に沿った線積分で、「循環」と呼びます。このページでは、反時計まわり（＋z から見て）を正の向きにします（5 章・8 章のストークスの定理の向きの約束）。
• 電場の線積分は電位差になります。電場 E が単位電荷を動かす仕事が ∫E·dl（dl は道の小さな進み）です。

③ 具体例（途中を省かずに）

渦の場 F ＝ (−y, x) で、(0, 0) から (1, 1) まで、折れ線と斜めの 2 通りの道で計算します。F·dl ＝ −y dx ＋ x dy です（F_x ＝ −y、F_y ＝ x。dx・dy は、道に沿った x・y の小さな変化）。

1. 折れ線の第 1 辺は、x 軸に沿って (0, 0) → (1, 0)。y は 0 のままなので、y ＝ 0 と dy ＝ 0 を入れると、足す中身（被積分関数）は −0·dx ＋ x·0 ＝ 0。足しても 0。
2. 第 2 辺は、(1, 0) → (1, 1)。x は 1 のままなので、x ＝ 1 と dx ＝ 0 を入れると、−y·0 ＋ 1·dy ＝ dy。y が 0 から 1 まで足すと 1。
3. 斜めの道は、s ＝ 0 → 1 で x ＝ y ＝ s と書ける（dx ＝ dy ＝ ds）。足す中身は −s ds ＋ s ds ＝ 0 なので、積分も 0。

数値積分（2 万分割）でも、折れ線 1・斜め 0 です（図の左）。半径 1 の円を反時計まわりに 1 周すると、F·dl ＝ dθ（θ は回った角）で 2π ≈ 6.283。渦の場の線積分は、道によって変わり、閉じた道で 0 になりません。これが、5 章の rot（回転）が 0 でない、ということの意味です。

一方、勾配の場 F ＝ ∇V ＝ (2x, 2y) では、F·dl ＝ 2x dx ＋ 2y dy（折れ線: 第 1 辺で ∫₀¹ 2x dx ＝ 1、第 2 辺で ∫₀¹ 2y dy ＝ 1）で、合計 2。斜めでは、2s ds ＋ 2s ds ＝ 4s ds なので ∫₀¹ 4s ds ＝ 2。どちらも V(1, 1) − V(0, 0) ＝ 2 − 0 ＝ 2 です。

1 行目は、0-3 の基本定理を 3 次元の道に広げたもの（「微分を道に沿って積分すると、両端の差になる」）。2 行目は、E ＝ −∇V を使うと、始点から終点までの電場の線積分が、電位差 V(始点) − V(終点) になる、ということで、「電場の線積分が道によらない」ので、電位差が、道の選び方によらず、1 つに決まる、ということの根拠です。

0-5. 面積分・体積積分: 「面や体積に分けて足す」

① 定義と意味

面 S を小さな面積 ΔS に分けて、各部分の「場の、面に垂直な成分 × ΔS」を足したもの、つまり流束（通り抜ける量）が面積分 ∫_S F·n̂ dS です。n̂（エヌ・ハット）は、面に垂直で、長さ 1 の向き（法線）。閉じた面では、外向きにとります。体積積分 ∫_V g dV は、体積を小さな体積 ΔV に分けて、g ΔV を足したもの（例: 電荷密度 ρ を体積積分すると、中の電荷の合計 Q）です。

② 具体例

B ＝ 0.5 T（一様）・面は辺 0.2 m × 0.1 m の長方形（S ＝ 0.02 m²）。B と法線 n̂ のなす角が θ ＝ 60° のとき、B の面に垂直な成分は B cos 60° ＝ 0.25 T で、Φ ＝ 0.25 × 0.02 ＝ 0.005 Wb（ウェーバ。T·m²）。面を水平に（θ ＝ 0°）置くと、0.5 × 0.02 ＝ 0.01 Wb。面を傾けると、磁束が減ります。面が B と平行（θ ＝ 90°）なら、0 です。

• 閉じた面の流束の例（立方体の面から出る F ＝ (x, y, z) の流束）は4 章・8 章にあります。
• 積分記号の約束: ∫ ＝ 線積分（dl）、∬ ＝ 面積分（dS）、∭ ＝ 体積積分（dV）。このページの式では、∬・∭ の代わりに、∫ の右下に、何について足すか（道 C・面 S・体積 V）を書きます。

1. スカラー場とベクトル場

① 定義・② 意味

場とは、空間の各点 (x, y, z) に、量が 1 つずつ決まっているもののことです。決まっている量が数 1 つならスカラー場（例: 電位 V(x, y, z)［単位 V］、温度、高さ）、向きと大きさをもつ矢印ならベクトル場（例: 電場 E(x, y, z)［V/m］、磁束密度 B［T］、流れの速さ）です。ベクトル場は、3 つの成分の関数の組 F ＝ (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z)) として書けます。

③ 具体例（図の数値）

図の例の数値: 電荷 ±1 を (±0.8, 0, 0) に置き、V ＝ 1/|r − r₊| − 1/|r − r₋|（比例の定数 1/(4πε₀)·q を 1 とした単位）。3 次元の電位を、z ＝ 0 の面で切って見ています。

2. ∇（ナブラ）＝ 微分のベクトル

ひとことで: 「x・y・z の 3 つの向きに、それぞれ偏微分せよ」という指示を、1 つにまとめた記号です（偏微分は 0-2）。何に作用させるかで、grad・div・rot の 3 通りになります。

① 定義: 偏微分と ∇

偏微分 ∂f/∂x は、y と z を止めて、x だけを少し（h だけ）動かしたときの、f の変化の割合です。

2 行目は、3 つの向きに同時に少しずつ (dx, dy, dz) ＝ dr 動いたときの f の変化 df が、3 つの偏微分の組 ∇f と、動いた向き dr の内積になる、という式です（f が滑らかなときの 1 次の近似）。この「3 つの偏微分を並べたもの」を作る記号が ∇ です。ここで「·」は内積で、2 つのベクトルの成分どうしを掛けて足したもの（a·b ＝ a_xb_x ＋ a_yb_y ＋ a_zb_z）です。

② 意味

∇ は、「x・y・z の 3 つの向きに、それぞれ微分せよ」という指示を、ベクトルの形にまとめた記号（演算子）です。何に、どう掛けるかで、3 通りに使い分けます。

③ 具体例（数値）

V ＝ x² ＋ y² の点 (1, 0.5, 0) では、V ＝ 1 ＋ 0.25 ＝ 1.25。y と z を止めて x だけ動かすと、∂V/∂x ＝ 2x ＝ 2、x と z を止めて y だけ動かすと、∂V/∂y ＝ 2y ＝ 1。V に z は入っていないので ∂V/∂z ＝ 0。図で、x の向きに動かすほうが、等高線を速く横切る（V が速く増える）のは、このためです。

3. grad（勾配）と E ＝ −∇V

ひとことで: 地図の等高線で、「いちばん急な上り坂の向きと、その急さ」を教えてくれる矢印が grad です。電場は、電位の下り坂の向きを向きます（E ＝ −∇V）。

動かして確かめる（3D）

V を山の高さとして描きました。琥珀の点をドラッグして、山の上を歩いてみてください。そこでの ∇V が、いちばん急な上り坂の向きを向き、等高線に垂直なことが見えます。紫の矢印を回すと、その向きの傾き（∇V·u）が、図のそばの小さなグラフのとおり、cos の形で変わります。

① 定義

単位: V が電位［V］なら、∇V は［V/m］（距離で微分するので、1 m あたり）。E ＝ −∇V は、時間とともに変わらない電場（静電場）で成り立ちます。磁場が時間とともに変わるときは、ベクトル・ポテンシャル A の時間変化の項 −∂A/∂t が加わります（3 行目の式。誘導の電場）。

② 意味（なぜ「いちばん急な向き」で、なぜ「等高線に垂直」か）

2 章の式 df ＝ ∇f · dr から、2 つのことが出ます。

• 等高線に垂直: 等高線に沿って動くと、f は変わらない（df ＝ 0）。すると ∇f · dr ＝ 0 なので、∇f は、等高線に沿う向き dr と直交します。
• いちばん急な向き: 長さ |dr| を決めて向きだけ変えると、df ＝ |∇f| |dr| cos θ（θ は ∇f と dr のなす角）。これが最大になるのは θ ＝ 0、つまり ∇f の向きに動くときで、そのときの増え方の割合が |∇f| です。

E ＝ −∇V の「−」は、電場が、電位の下がる向き（＋の電荷を置いたら、押される向き）を向く、という約束です。＋の電荷は、電位の山から谷へ押されます。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. V ＝ x² ＋ y² を、x で偏微分する。y と z は止めるので、y² は定数として扱われ、微分すると 0。x² は、(x²)′ ＝ 2x（0-1 の公式）。よって ∂V/∂x ＝ 2x。
2. y で偏微分するときは、x² が定数なので 0、y² は 2y。よって ∂V/∂y ＝ 2y。
3. V には z が入っていない（z を変えても V は変わらない）ので、∂V/∂z ＝ 0。
4. 3 つの偏微分を並べると、∇V ＝ (2x, 2y, 0)。点 (1, 0.5, 0) では、x ＝ 1、y ＝ 0.5 を入れて、(2, 1, 0)。
5. ベクトルの大きさは、成分の 2 乗の和の平方根（三平方の定理）: |∇V| ＝ √(2² ＋ 1²) ＝ √5 ≈ 2.236。

点 (1, 0.5, 0) での ∇V ＝ (2, 1, 0)、大きさ ≈ 2.236（上の 4・5 段）。この向き (2, 1) は、その点と原点を結ぶ向き (1, 0.5) と同じ（外向き）で、等高線（原点を中心とする円）に垂直です。もし V が電位［V］で、x, y が［m］なら、そこでの電場は E ＝ −∇V ＝ (−2, −1, 0) V/m（原点に向かう）。

4. div（発散）と ∇·E ＝ ρ/ε₀

ひとことで: その点から、場が湧き出している（＋）か、吸い込まれている（−）か、その強さを、数 1 つで表します。電場の湧き出し口は、電荷です。

図は z ＝ 0 の断面です。紫の四角（中心 (0.9, 0.6)・一辺 0.6・面積 0.36）は、xy 面の中の 2 次元の「箱」で、4 辺から出る正味の量は、四角の中で div が一定なら、2 次元の div（∂F_x/∂x ＋ ∂F_y/∂y）× 面積です（一定でなければ、四角の中で足し合わせたもの）。湧き出し・吸い込みの例では、3 次元の div（±3）のうち z の向きの分（±1）は、この断面の図には出てきません（3 次元の箱なら、上下の面から出入りする分）。一様・線電荷の形の例は F_z ＝ 0 なので、2 次元と 3 次元の div が同じです。

動かして確かめる（3D）

小さな箱を、流れの中に置きました。紫の点をドラッグして箱を動かし、6 つの面から出入りする量（流束）を見てください。合計を箱の体積で割ったものは、箱を小さくした極限で、その点の div になります（この絵の湧き出し・一様などでは、箱の大きさによらず div と同じ）。「場所で変わる」流れでは、箱を小さくするほど、その点の div に近づきます。白い粒子は、湧き出しの所で生まれ（琥珀）、吸い込みの所で消えます（青）。

① 定義

流束とは、面を通り抜ける量のことで、面の各点で F·n̂（面に垂直な成分）を、面の上で足し合わせたもの（∫F·n̂ dS）です。1〜2 行目が成分での定義、3 行目が意味（小さな体積 ΔV を包む閉じた面から、外へ出る流束 ∮F·n̂ dS を、体積で割って、体積を 0 に近づけた値）。n̂ は、面の外向きの単位法線で、F·n̂ が正なら出ていく、負なら入ってくる量です。4・5 行目は、マクスウェルの方程式の 2 つ（電場のガウスの法則・磁場のガウスの法則）。ρ は電荷密度［C/m³］、ε₀ は真空の誘電率［F/m］。

② 意味

div は「その点に、湧き出し口（正）または吸い込み口（負）があるか、その強さはどれだけか」を表します。∇·E ＝ ρ/ε₀ は、「電場が湧き出すのは、電荷のあるところだけ（正の電荷から湧き出し、負の電荷に吸い込まれる）」。∇·B ＝ 0 は、「磁場には、湧き出し口・吸い込み口がない（単独の磁極はない）」と読めます。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. 1 つ目（F ＝ (x, y, z)）: F_x ＝ x、F_y ＝ y、F_z ＝ z。div の定義は、同じ文字どうしの偏微分を足すこと（∂F_x/∂x ＋ ∂F_y/∂y ＋ ∂F_z/∂z）。∂x/∂x ＝ 1、∂y/∂y ＝ 1、∂z/∂z ＝ 1 なので、足して 3。
2. 2 つ目（線電荷の形）: F_x ＝ x/(x² ＋ y²) を x で偏微分する（y は定数扱い）。分数なので、商の微分 (u/v)′ ＝ (u′v − uv′)/v² を使う。u ＝ x（u′ ＝ 1）、v ＝ x² ＋ y²（v′ ＝ 2x）なので、[1·(x²＋y²) − x·2x]/(x²＋y²)² ＝ (y² − x²)/(x²＋y²)²。
3. F_y ＝ y/(x² ＋ y²) を y で偏微分する。u ＝ y（u′ ＝ 1）、v′ ＝ 2y なので、[(x²＋y²) − y·2y]/(x²＋y²)² ＝ (x² − y²)/(x²＋y²)²。
4. 2 つを足すと、分子が (y² − x²) ＋ (x² − y²) ＝ 0（分母は共通）。F_z ＝ 0 は定数なので、∂F_z/∂z ＝ 0。よって原点の外では ∇·F ＝ 0。

数値で確かめると、1 つ目は ∇·F ＝ 3（場所によらない）。図の xy 面の四角（面積 0.36）では、x と y の 2 つの向きの分（2 次元の div ＝ 2）だけが効いて、2 × 0.36 ＝ 0.72 が、四角の 4 辺から外へ出ます（図の左上の数値。数値積分）。

2 つ目（線電荷の形）は、数値微分でも 0.000（原点では、分母が 0 で定義できません。そこに線電荷があります）。

5. rot（回転）と ∇×B ＝ μ₀J

ひとことで: その点に小さな羽根車を置いたら、どちら向きに、どれだけ回るか。その向き（軸）と強さを、ベクトルで表します。静磁場（時間変化しない場）では、磁場の渦の元は、電流です。

羽根車は、その点の流れ（F を流れの速さと見たとき）に置いた、小さな水車の模式です。理想化した（流れにぴったりついて回る）羽根車の角速度は、rot の z 成分の 1/2（剛体の回転では、rot ＝ 角速度の 2 倍。出典は下の一覧）。四角は、中心 (0.9, 0.6)・一辺 0.6、ひと回りの向きは反時計まわり（右ねじで ＋z）。

動かして確かめる（3D）

羽根車を、3 次元の流れの中に置きました。軸の向きを変えると、同じ場所でも、回る速さが変わります。回る速さは、rot の向きに軸を合わせたとき最大で、直角にすると 0（回らない）。これが、「rot はベクトル（向きと強さをもつ）」の意味です。

流れの種類は 5 つです。「渦」は、流れが円をえがいていても、中心の線の外では rot ＝ 0 で、羽根車は回りません（内側ほど流れが速いことと、流れが曲がっていることが、羽根車を逆向きに回そうとして、ちょうど打ち消し合います）。「流れに乗せる」ボタンで、羽根車が流れに乗って動く（公転する）ようすを見ると、渦では、中心のまわりを回っても、羽根の向きは変わらない（自転しない）ことが分かります。「導線の中と外」は、太い導線のまわりの磁場の形で、電流が流れている中では羽根車が回り、外では回りません（∇×B ＝ μ₀J）。

① 定義

1〜4 行目が成分での定義です。5 行目は、それを覚えやすくした行列式の形（3 × 3 の表から 1 つの式を作る計算。ここでは覚え方としてだけ使います）で、1 行目の単位ベクトルで展開すると（6〜8 行目）、成分の定義と同じになります（∂/∂x などは数ではないので、正式な行列式ではなく、覚え方）。「外積の形」とは、a×b ＝ (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) の a を ∇ に置き換えた形、という意味です。9 行目が意味: 法線 n̂ に垂直な小さな面 ΔS の縁を、右ねじの向き（親指を n̂ に向けて、残りの指が巻く向き）にひと回りして、F を道に沿って足した量（循環 ∮F·dl）を、面積で割って、面積を 0 に近づけた値が、rot の n̂ 方向の成分です。10・11 行目は、マクスウェルの方程式の 2 つ（静磁場のアンペールの法則と、ファラデーの電磁誘導の法則）。J は電流密度［A/m²］、μ₀ は真空の透磁率［H/m］。

② 意味

rot は「その点のまわりで、場がぐるぐる回る（循環する）強さと、その回転の軸」を表すベクトルです。向きは、回転の軸で、右ねじの約束（反時計まわり ↔ 手前向き）。∇×B ＝ μ₀J は、「磁場の渦があるのは、電流が流れているところだけ」、∇×E ＝ −∂B/∂t は、「磁場が時間とともに変わるところには、電場の渦ができる（電磁誘導）」と読めます。

③ 具体例（途中を省かずに）

1. z 成分の定義は (∇×F)_z ＝ ∂F_y/∂x − ∂F_x/∂y。F ＝ (−y, x, 0) なので、F_y ＝ x、F_x ＝ −y を入れる。
2. ∂F_y/∂x ＝ ∂x/∂x ＝ 1。∂F_x/∂y ＝ ∂(−y)/∂y ＝ −1（−y を y で微分すると −1）。
3. 引き算: 1 − (−1) ＝ 2（マイナスを引くと、プラスになる）。
4. x 成分は ∂F_z/∂y − ∂F_y/∂z。F_z ＝ 0（定数の微分は 0）、F_y ＝ x には z がない（z で微分すると 0）ので、0 − 0 ＝ 0。y 成分も同じ理由で 0。
5. まとめ: ∇×F ＝ (0, 0, 2)。向きは z（xy 面を反時計まわりに回る流れの軸の向き）、大きさ 2。

回転 (−y, x, 0) の (∇×F)_z ＝ 2（上の 1〜3 段）。小さな四角（面積 0.36）をひと回りした循環は、2 × 0.36 ＝ 0.72（図の左上の数値。数値積分）。

ずれ (y, 0, 0): z 成分は 0 − ∂y/∂y ＝ −1。四角の上の辺（y が大きい）で右へ速く、下の辺で右へ遅い（y ＜ 0 なら左へ）ので、反時計まわりにたどると、上の辺（左向きにたどる）の負の寄与が勝ちます。

渦 (−y, x, 0)/(x²＋y²): ∂/∂x [x/(x²＋y²)] ＝ (y² − x²)/(x²＋y²)²、∂/∂y [−y/(x²＋y²)] ＝ −(x² − y²)/(x²＋y²)² ＝ (y² − x²)/(x²＋y²)²。z 成分は、前者 − 後者 ＝ 0（数値でも 0.000）。原点を囲む道をひと回りしたときの循環は 2π で、0 ではありません（原点に「電流」がある。8 章のストークスの定理で、原点を含む面では、rot の積分に原点の寄与が入る）。

6. ラプラシアンと、ラプラス・ポアソン方程式

ひとことで: その点の値が、まわりの平均と比べて、高いか・低いか。0 なら、ちょうど平均で、山の頂上も谷底もありません。

① 定義

ラプラシアン ∇² は、grad をとってから div をとったもの（∇·∇）で、2 階の偏微分の和です。電位について、∇·E ＝ ρ/ε₀ に E ＝ −∇V を入れると、∇·(−∇V) ＝ ρ/ε₀、つまり ∇²V ＝ −ρ/ε₀（ポアソン方程式）。電荷のない場所では ∇²V ＝ 0（ラプラス方程式）。

② 意味

∇²V は、「その点の V が、まわりの平均と、どれだけ違うか」を表します（差分で書くと、∇²V ≈ [前後・左右・上下の 6 点の V の和 − 6V]/h²）。∇²V ＝ 0 が領域のどこでも成り立つなら、その領域のどの点の値も、まわりの平均にちょうど等しく、電荷のない領域の中には、電位の山の頂上も谷底もできません（山や谷は、電荷のある場所か、境界にだけ）。

③ 具体例

1. ∂²V/∂x² は、「V を x で偏微分したものを、もう 1 回 x で偏微分する」という意味（∂/∂x を 2 回）。
2. V ＝ x² ＋ y² では、∂V/∂x ＝ 2x、これをもう 1 回 x で偏微分して ∂(2x)/∂x ＝ 2。y も同じで 2。V に z はないので 0。
3. 3 つを足すと ∇²V ＝ 2 ＋ 2 ＋ 0 ＝ 4。

V ＝ x² ＋ y² の ∇²V ＝ 4（上の 3 段。中心がまわりより低い ＝ 谷）。V ＝ x² − y²: 2 ＋ (−2) ＋ 0 ＝ 0（鞍の形。x の向きには谷、y の向きには山で、打ち消す）。図の点 (1.2, 0.4) で、V ＝ 1.44 − 0.16 ＝ 1.28、円の上の平均（数値積分）も 1.28。

7. 恒等式: ∇×(∇φ) ＝ 0、∇·(∇×A) ＝ 0、∇×(∇×A)、∇·(E×H)

ひとことで: 勾配には渦がなく、回転（渦）には湧き出しがありません。これが、静電場が（ひと回りで仕事が 0 の）保存力であること、磁場に湧き出しがないことの数学的な根拠です。

① 定義（式と、途中を省かない証明）

∇×(∇φ) ＝ 0（上の 3〜4 行目。x 成分）を、1 段ずつ:

1. φ は、どんなスカラー場でもよい。F ＝ ∇φ の成分は、F_x ＝ ∂φ/∂x、F_y ＝ ∂φ/∂y、F_z ＝ ∂φ/∂z（2 章）。
2. rot の x 成分の定義 (∇×F)_x ＝ ∂F_z/∂y − ∂F_y/∂z（5 章）に入れる: ∂/∂y (∂φ/∂z) − ∂/∂z (∂φ/∂y)。
3. これは、φ の 2 階の偏微分 ∂²φ/∂y∂z と ∂²φ/∂z∂y の差。2 階の偏微分が連続なら、微分の順序を入れ替えても同じ（0-2。シュワルツの定理）なので、同じ値どうしの引き算で 0。
4. y・z 成分は、x → y → z → x と文字を入れ替えるだけで、同じ形になり、0。よって、ベクトルとして ∇×(∇φ) ＝ 0。

∇·(∇×A) ＝ 0（上の 5〜8 行目）を、1 段ずつ:

5. ∇×A の成分を、rot の定義（5 章）で書く: (∇×A)_x ＝ ∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z、(∇×A)_y ＝ ∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x、(∇×A)_z ＝ ∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y。
6. div の定義（4 章）は、「同じ文字の偏微分を足す」: ∂/∂x (∇×A)_x ＋ ∂/∂y (∇×A)_y ＋ ∂/∂z (∇×A)_z。ここに前の行を入れて、かっこを開くと、2 階の偏微分が 6 つ出る。
7. 6 つを、同じ成分の組でまとめる: A_z は ∂²A_z/∂x∂y − ∂²A_z/∂y∂x、A_x は ∂²A_x/∂y∂z − ∂²A_x/∂z∂y、A_y は ∂²A_y/∂z∂x − ∂²A_y/∂x∂z。
8. どの組も、微分の順序を入れ替えたもの どうしの引き算（順序は入れ替えてよい）なので、0。よって ∇·(∇×A) ＝ 0。

② 意味（図 7a・7b）

• ∇×(∇φ) ＝ 0: 勾配でつくった場（坂の向き）には、渦がない。8 章のストークスの定理で、面の上の rot の積分 ＝ 道の循環 なので、どの閉じた道をひと回りしても、∮∇φ·dl ＝ 0。坂を上った分だけ、必ずどこかで下る、ということです（図 7a。この図の道のように、上りと下りが 1 回ずつなら、上りの合計は、道の上の φ の最高と最低の差）。静電場は E ＝ −∇V なので、∇×E ＝ 0 で、閉じた道をひと回りしたときの仕事は 0（保存力）。逆に、渦のある場は、どんなスカラー場の勾配でもない。
• ∇·(∇×A) ＝ 0: 渦（rot）でつくった場には、湧き出しがない。8 章のガウスの定理で、どの閉じた箱からも、∇×A の流束は正味 0（図 7b。断面だけを見ると吸い込みに見えても、断面に垂直な向きの出入りまで入れると 0）。磁場は ∇·B ＝ 0 を満たすので、B ＝ ∇×A（A はベクトル・ポテンシャル）と書けます（逆に、B ＝ ∇×A と書けば、この恒等式で、∇·B ＝ 0 が自動的に成り立つ）。また、∇×B ＝ μ₀J の両辺の div をとると、左辺は 0 なので ∇·J ＝ 0（静的な場合）。時間とともに変わる場合は、変位電流の項が加わって、電荷の保存の式になります（マクスウェルの方程式のコーナーの 4 章の折りたたみ ④）。

③ 具体例（図の数値）

図 7a: 円（中心 (0.7, 0.5)・半径 0.75）では、上り 2.581、循環 0.000。上りの合計は、円の上の φ ＝ x² ＋ y² の最高（原点から最も遠い点。距離 √(0.7² ＋ 0.5²) ＋ 0.75 ≈ 1.6102、φ ≈ 2.5928）と最低（距離 ≈ 0.1102、φ ≈ 0.0121）の差 ≈ 2.581 と一致します。四角（中心 (−0.9, −0.9)・一辺 0.9）では、上り 3.240（角 (−1.35, −1.35) の φ ＝ 3.645 と、角 (−0.45, −0.45) の φ ＝ 0.405 の差）、循環 0.000。

図 7b: A ＝ (−yz/2, xz/2, 0) の rot は、x 成分 ∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z ＝ 0 − x/2、y 成分 ∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x ＝ −y/2 − 0、z 成分 ∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y ＝ z/2 ＋ z/2 ＝ z なので、B ＝ (−x/2, −y/2, z)、∇·B ＝ −1/2 − 1/2 ＋ 1 ＝ 0。箱（xy は中心 (0.9, 0.6)・一辺 0.6、z は −0.3〜0.3。体積 0.216）の 4 つの側面からは、xy の向きの div（−1）× 体積 ＝ −0.216（入る）、上下の面からは、B_z ＝ ±0.3 × 面積 0.36 × 2 面 ＝ 0.216（出る）。合計 0.000（数値積分）。

7-2. ∇×(∇×A) ＝ ∇(∇·A) − ∇²A（電磁波の波動方程式で使う）

① 定義（x 成分で、途中を省かずに）

x 成分を、1 段ずつ（上の 2〜9 行目）:

1. G ＝ ∇×A とおく。rot の x 成分の定義: (∇×G)_x ＝ ∂G_z/∂y − ∂G_y/∂z（2〜3 行目）。
2. G_z ＝ ∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y、G_y ＝ ∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x を入れる（4 行目。まだ、かっこの中の微分を配る前の形）。続いて微分を配ると ∂²A_y/∂y∂x − ∂²A_x/∂y² − ∂²A_x/∂z² ＋ ∂²A_z/∂z∂x。2 階の偏微分は、順序を入れ替えてよい（連続のとき）ので、∂²A_y/∂x∂y・∂²A_z/∂x∂z と書ける（5 行目は、この 2 つの段を 1 行にまとめた形）。
3. 同じ項 ∂²A_x/∂x² を、足して引く（0 を足しただけなので、値は変わらない。6〜7 行目）。
4. 足したほうの項と、∂²A_y/∂x∂y・∂²A_z/∂x∂z をまとめる: ∂/∂x (∂A_x/∂x ＋ ∂A_y/∂y ＋ ∂A_z/∂z) ＝ ∂/∂x (∇·A)（8 行目）。
5. 引いたほうの項と、−∂²A_x/∂y²・−∂²A_x/∂z² をまとめる: −(∂²/∂x² ＋ ∂²/∂y² ＋ ∂²/∂z²) A_x ＝ −∇²A_x（8〜9 行目）。
6. x 成分は、∂(∇·A)/∂x − ∇²A_x。y・z 成分も、文字を x → y → z → x と入れ替えて同じ形なので、ベクトルで ∇×(∇×A) ＝ ∇(∇·A) − ∇²A。

ここの ∇²A は、直交座標の成分ごとのラプラシアン (∇²A_x, ∇²A_y, ∇²A_z) です（6 章の注）。円柱座標・球座標では、成分ごとにはなりません。

② 意味

rot を 2 回とると、「div の勾配」と「ラプラシアン」に分かれる、という式です。真空中で ∇·E ＝ 0 のとき、∇×(∇×E) ＝ −∇²E になり、ファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則を組み合わせると、電場の波動方程式が出ます（その導出は、マクスウェルの方程式のコーナーの 5 章）。

③ 具体例（手計算と、数値微分）

1 つ目: ∇×A の x 成分は ∂(zx)/∂y − ∂(yz)/∂z ＝ 0 − y、y 成分は ∂(xy)/∂z − ∂(zx)/∂x ＝ 0 − z、z 成分は ∂(yz)/∂x − ∂(xy)/∂y ＝ 0 − x。もう一度 rot をとると、x 成分 ∂(−x)/∂y − ∂(−z)/∂z ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1、y・z も同様に 1。右辺は、∇(x ＋ y ＋ z) ＝ (1, 1, 1)、A の各成分は 1 次式の積なので ∇²A ＝ 0。両辺とも (1, 1, 1)。点 (0.3, −0.7, 0.2) で、左辺を数値微分すると (1.000, 1.000, 1.000)、右辺も (1.000, 1.000, 1.000)。

2 つ目（div が 0 の例）: ∇·A ＝ ∂(sin y)/∂x ＋ ∂(sin z)/∂y ＋ ∂(sin x)/∂z ＝ 0 なので、∇×(∇×A) ＝ −∇²A。∇²(sin y) ＝ −sin y などから、−∇²A ＝ (sin y, sin z, sin x)。同じ点で、左辺の数値微分は (−0.644, 0.199, 0.296)、右辺は (−0.644, 0.199, 0.296)。sin(−0.7) ≈ −0.644、sin 0.2 ≈ 0.199、sin 0.3 ≈ 0.296 と一致します。

7-3. ∇·(E×H) ＝ H·(∇×E) − E·(∇×H)（ポインティングの定理の元）

① 定義（途中を省かずに）

1 段ずつ（上の 2〜10 行目）:

1. 外積 E×H の成分（5 章の外積の式）は、(E_yH_z − E_zH_y, E_zH_x − E_xH_z, E_xH_y − E_yH_x)。これを div の定義（x 成分は x で、y 成分は y で、z 成分は z で微分して足す）に入れる（2〜4 行目）。
2. どの項も、E の成分と H の成分の積。積の微分 ∂(ab)/∂x ＝ (∂a/∂x) b ＋ a (∂b/∂x) で、1 つの項が 2 つに分かれ、全部で 6 × 2 ＝ 12 項になる。
3. E を微分した 6 項を、H_x・H_y・H_z でまとめる（5〜6 行目）: H_x(∂E_z/∂y − ∂E_y/∂z) ＋ H_y(∂E_x/∂z − ∂E_z/∂x) ＋ H_z(∂E_y/∂x − ∂E_x/∂y)。かっこの中は、∇×E の x・y・z 成分そのものなので、H·(∇×E)（7 行目）。
4. H を微分した 6 項を、E_x・E_y・E_z でまとめる（8〜9 行目）: E_x(∂H_y/∂z − ∂H_z/∂y) ＋ … かっこの中は、∇×H の成分（例: x 成分は ∂H_z/∂y − ∂H_y/∂z）の符号を逆にしたものなので、−E·(∇×H)（10 行目）。
5. 2 つを合わせて、∇·(E×H) ＝ H·(∇×E) − E·(∇×H)。

② 意味

E×H は、電磁場のエネルギーの流れ（ポインティング・ベクトル）で、その div は「その点から、エネルギーが正味で流れ出す割合」です。右辺の ∇×E・∇×H に、マクスウェルの方程式を入れると、「流れ出す分 ＝ 場のエネルギーの減り − 電流に渡す分（ジュール熱など）」というエネルギーの収支の式（ポインティングの定理）になります（この定理の導出は、マクスウェルの方程式のコーナーの 7 章にあります。5 章に、エネルギーの流れ S の平面波の例もあります）。

③ 具体例（数値微分）

E ＝ (yz², sin(xz), x²y)、H ＝ (xy, z cos y, e^x/2 ＋ z)（電磁場ではなく、式の検算のための滑らかな例の関数）の点 (0.3, −0.7, 0.2) で、左辺 ∇·(E×H) ＝ 0.277、右辺 H·(∇×E) − E·(∇×H) ＝ 0.277（それぞれ、別々に数値微分）。

8. 積分定理: ガウスの定理とストークスの定理

ひとことで: 小さな箱（小さな四角）の出入りを、全部足していくと、となりどうしの面（辺）は打ち消しあって、外側だけが残ります。「内側の合計 ＝ 外側の量」を結ぶのが、この 2 つの定理です。

動かして確かめる（3D）

「分割数 m」を増やして、大きな箱（四角）を、小さな箱（四角）に分けてみてください。小さな箱の流束（四角の循環）を全部足しても、内側の面（辺）の分は 0 で、外側の分だけが残ります（表）。

① 定義（2 つの定理の式）

ガウスの定理（発散定理）

ストークスの定理

② 意味

ガウス: 左辺は、体積 V の中の div の合計（体積積分）、右辺は、その体積を包む閉じた面 S から外へ出る流束（面積分。n̂ は外向きの単位法線）。4 章の「div ＝ 小さな箱から出る量 ÷ 体積」を、体積を小さな箱に分けて足し合わせると、となりの箱どうしの境の面では、一方から出る量が他方に入る量なので打ち消し、外側の面だけが残る、と読めます（F が滑らかで、面が区分的に滑らかなとき）。2 行目は、電場のガウスの法則の積分の形（Q_中 は、面の中の電荷の合計）。

ストークス: 左辺は、閉じた道 C をひと回りしたときの、道に沿った F の和（線積分・循環）、右辺は、C を縁とする面 S を貫く rot の流束（面積分）。向きの約束: C をたどる向きに右手の指を巻いたとき、親指の向きが n̂（右ねじ）。5 章の「rot ＝ 小さな四角の循環 ÷ 面積」を、面を小さな四角に分けて足すと、となりの四角の境の辺は、逆向きにたどるので打ち消し、外側の縁だけが残る、と読めます。2 行目は、静磁場のアンペールの法則の積分の形（I_貫く は、面を n̂ の向きに貫く電流）。

③ 具体例

1. ガウス（立方体）: 左辺は、∇·F ＝ 3 を体積の全体で足す。3 は場所によらない定数なので、体積積分は「3 × 体積」＝ 3 × 1 ＝ 3。
2. 右辺は、立方体の 6 つの面で F·n̂ を足す。x ＝ 1 の面は、n̂ ＝ (1, 0, 0)（外向き）で、F·n̂ ＝ F_x ＝ x ＝ 1（この面では x ＝ 1）。面積 1 を掛けて、流束 1。
3. x ＝ 0 の面は、n̂ ＝ (−1, 0, 0)（外向き）で、F·n̂ ＝ −x ＝ 0（この面では x ＝ 0）。流束 0。y・z の向きの面も同じ（1 ＋ 0）。
4. 6 面の合計は 1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 0 ＝ 3 で、左辺と一致。
5. ストークス（単位円）: 道を、角 t で表す（x ＝ cos t、y ＝ sin t。t は 0 から 2π。反時計まわり）。線積分の考え方は 0-4。
6. 道に沿った小さな進みは、x・y を t で微分して、dl ＝ (−sin t, cos t, 0) dt（0-1 の微分。(cos t)′ ＝ −sin t、(sin t)′ ＝ cos t）。
7. 道の上の場は、F ＝ (−y, x, 0) ＝ (−sin t, cos t, 0)。内積: F·dl ＝ (−sin t)(−sin t) ＋ (cos t)(cos t) ＝ sin²t ＋ cos²t ＝ 1（1 に dt が付く）。
8. t が 0 から 2π まで足す（0-3 の積分）: ∫₀^2π dt ＝ 2π。右辺は、∇×F ＝ (0, 0, 2)、n̂ ＝ ẑ なので (∇×F)·n̂ ＝ 2（一定）。面積 π を掛けて 2π。左辺と一致。

ガウス: F ＝ (x, y, z)、立方体 0 ≤ x, y, z ≤ 1。左辺: ∇·F ＝ 3、体積 1 なので 3。右辺: x ＝ 1 の面では n̂ ＝ (1, 0, 0)、F·n̂ ＝ x ＝ 1、面積 1 で 1。x ＝ 0 の面では n̂ ＝ (−1, 0, 0)、F·n̂ ＝ −x ＝ 0。y・z も同じなので、合計 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3。数値積分でも 3。

ストークス: F ＝ (−y, x, 0)、C は単位円（x ＝ cos t、y ＝ sin t、t: 0 → 2π）。dl ＝ (−sin t, cos t, 0) dt、F ＝ (−sin t, cos t, 0) なので、F·dl ＝ (sin²t ＋ cos²t) dt ＝ dt。ひと回りで 2π。右辺: ∇×F ＝ (0, 0, 2)、n̂ ＝ ẑ、面積 π なので 2π。数値積分でも 6.283（2π ＝ 6.2832…）。

9. 円柱座標・球座標での ∇

ひとことで: 円柱や球の問題では、(x, y, z) の代わりに、半径と角度で場所を表すほうが楽です。そのとき ∇ の成分に、半径や sin θ の係数がつく理由を、小さな箱の体積から導きます。

記号の注意: この章の ρ は z 軸からの距離（半径）で、4・6・10 章の電荷密度 ρ とは別です。φ は方位角で、7 章のスカラー場 φ とは別です。

導線のまわり（円柱）や、点電荷のまわり（球）の場は、直交座標より、円柱座標 (ρ, φ, z)・球座標 (r, θ, φ) で書くほうが簡単です。ただし、∇ の成分に係数がつきます。θ は z 軸からの角、φ は x 軸からの方位角（物理でよく使う約束。数学の本では、θ と φ を入れ替えて書くものがあります）。

① 定義（円柱座標・球座標の式）

円柱座標

球座標

rot（円柱座標）

4 行目は、5 章の渦 F_φ ＝ 1/ρ の例で、原点の外では ẑ 成分 ＝ 0 です。

rot（球座標）（3 成分。② で、r̂ 成分だけ導きます）

② 意味: 係数は、どこから出るか（式の導き方を、1 段ずつ）

grad の係数（1/ρ・1/r・1/(r sinθ)）。考え方: 2 章の df ＝ ∇f·dr（少し動いたときの f の変化は、∇f と動いた矢印 dr の内積）を、円柱座標の言葉で 2 通りに書いて、見くらべます。

1. 動いた矢印 dr を、座標で書く（1 行目）。ρ・φ・z を dρ・dφ・dz だけ変えたときに動く距離は、図 9a の 3 つの辺の長さです。ρ̂ の向きに dρ、ẑ の向きに dz。φ̂ の向きだけは ρ dφ（半径 ρ の円周の上を、角度 dφ［ラジアン］だけ進むと、弧の長さは「半径 × 角度」）。φ の向きだけ、角度の変化が、そのままは長さにならず、半径がかかるのが大事な点です。
2. f の変化を、変数ごとの偏微分で書く（2 行目の左）。f は ρ・φ・z の関数なので、1 つずつ動かしたときの変化の和 df ＝ (∂f/∂ρ)dρ ＋ (∂f/∂φ)dφ ＋ (∂f/∂z)dz（0 章の偏微分）。
3. 同じ df を、∇f と dr の内積で書く（2 行目の右）。∇f の ρ̂・φ̂・ẑ の向きの成分を (a, b, c) とおくと（b は、3 行目の (∇f)_φ のこと）、内積は、同じ向きの成分どうしの積の和: df ＝ a·dρ ＋ b·(ρ dφ) ＋ c·dz。
4. 2 通りを比べる（3 行目）。dρ・dφ・dz をどう選んでも 2 つの df は等しいので、dφ の係数どうしを比べると b·ρ ＝ ∂f/∂φ、つまり b ＝ (1/ρ)∂f/∂φ。同じく a ＝ ∂f/∂ρ、c ＝ ∂f/∂z。φ の向きだけ 1/ρ がつくのは、「角度の変化」を「長さの変化」に直すための、半径での割り算です。
5. 球座標も同じ手順（4〜5 行目）。dr ＝ (dr, r dθ, r sinθ dφ)。θ̂ の向きの辺は、半径 r の経線の弧（長さ r dθ）、φ̂ の向きの辺は、半径 r sinθ の緯線の円の弧（長さ r sinθ dφ）です（図 9b）。同じように比べると (∇f)_θ ＝ (1/r)∂f/∂θ、(∇f)_φ ＝ (1/(r sinθ))∂f/∂φ。

div の導き方（円柱座標）。考え方: 4 章の定義「div ＝ 小さな箱から外へ出る流束 ÷ 箱の体積」を、図 9a の箱（ρ〜ρ＋dρ、φ〜φ＋dφ、z〜z＋dz）にあてはめます。6 つの面を、向かい合う 2 面ずつの 3 組に分けて、組ごとに「外へ出る正味の流束」Φ を求めます。

1. 1 つの面を通る流束: 面が小さければ、その上で F はほぼ一様なので、流束 ≈ 〔F の外向きの成分〕×〔面の面積〕（4 章）。なお、大文字の Φ は流束、小文字の φ は方位角（別の量）です。
2. ρ̂ の向きの組（外の円筒面と内の円筒面。1〜2 行目）。外の面は半径が ρ＋dρ なので、面積は (ρ＋dρ)dφ dz。内の面の面積は ρ dφ dz。外向きの成分は、外の面で ＋F_ρ、内の面では向きが逆なので −F_ρ。合計は、「ρF_ρ という量」を ρ＋dρ と ρ で比べた差 × dφ dz で、差は〔微分 × 幅〕の形なので ≈ ∂(ρF_ρ)/∂ρ · dρ（0 章の微分の定義）。ρ が微分の中に入るのは、外の面のほうが広い（面積が半径に比例する）からです。
3. φ̂ の向きの組（φ と φ＋dφ の平らな面。3〜4 行目）。どちらの面も面積は dρ dz で同じ。外向きの成分は、φ＋dφ の側で ＋F_φ、φ の側で −F_φ。合計は F_φ の差だけで、≈ ∂F_φ/∂φ · dφ dρ dz。
4. ẑ の向きの組（上下の面。5〜6 行目）。どちらも面積は ρ dρ dφ で同じなので、差は F_z の差だけ: ≈ ∂F_z/∂z · dz ρ dρ dφ。
5. 3 組を足して、体積 ρ dρ dφ dz で割る（7〜8 行目）。ρ̂ の組は (1/ρ)∂(ρF_ρ)/∂ρ（dρ dφ dz が消えて、ρ が分母に 1 つ残る）、φ̂ の組は (1/ρ)∂F_φ/∂φ、ẑ の組は ∂F_z/∂z。3 つの和が、円柱座標の div です。
6. 省いたこと: 面の上で F が少し変わることや、dρ の 2 次の項は、箱を小さくする極限（dρ・dφ・dz → 0）で、体積に比べて消えます。箱の厳密な体積は (ρ＋dρ/2) dρ dφ dz で、ρ dρ dφ dz との差も同じく消えます（上下の面の面積 ρ dρ dφ も、厳密には (ρ＋dρ/2) dρ dφ で、同じ）（自作の検算プログラム（非公開） で、小さな箱の流束 ÷ 体積が式と一致することを確かめています）。

球座標の div も、同じ手順です（図 9b の箱。体積は r² sinθ dr dθ dφ）。

1. 3 組の面の面積: r̂ の組は r² sinθ dθ dφ（半径の 2 乗に比例）、θ̂ の組は r sinθ dr dφ（sinθ に比例。θ と θ＋dθ で sinθ の値が違う）、φ̂ の組は r dr dθ（2 面で同じ）。
2. 面積が変わる向きの組は、「面積に比例する量」を微分の中に入れる（円柱の ρ と同じ理屈）。r̂ の組は ∂(r²F_r)/∂r、θ̂ の組は ∂(sinθ F_θ)/∂θ。φ̂ の組は面積が同じなので、∂F_φ/∂φ だけ。
3. 体積 r² sinθ dr dθ dφ で割る（最後の行）。r̂ の組: ∂(r²F_r)/∂r · sinθ dr dθ dφ ÷ (r² sinθ dr dθ dφ) ＝ (1/r²) ∂(r²F_r)/∂r。θ̂ の組: ∂(sinθ F_θ)/∂θ · r dr dθ dφ ÷ (r² sinθ dr dθ dφ) ＝ (1/(r sinθ)) ∂(sinθ F_θ)/∂θ。φ̂ の組: ∂F_φ/∂φ · r dr dθ dφ ÷ (r² sinθ dr dθ dφ) ＝ (1/(r sinθ)) ∂F_φ/∂φ。
4. 3 つを足すと、球座標の div の式（上の「球座標」の式の 3〜5 行目）になります。r² と sinθ が微分の中に入るのは、面積がそれに比例して変わる向きだからです。

rot の導き方（円柱座標の ẑ 成分）。考え方: 5 章の定義「rot の ẑ 成分 ＝ ẑ に垂直な小さな四角のまわりの循環 ÷ 面積」を、ρ〜ρ＋dρ、φ〜φ＋dφ の小さな四角（図 9a の上の面）にあてはめます。ẑ の向きから見て反時計まわりを正とし、4 つの辺について、辺に沿った線積分 Γ₁〜Γ₄ を求めます（0 章の線積分: 進む向きの F の成分 × 辺の長さ）。

1. 辺 1（φ の辺を ρ̂ の向きに。長さ dρ）: 進む向きは ρ̂ なので、Γ₁ ＝ F_ρ dρ。F_ρ の値は、この辺の上の φ のもの。
2. 辺 2（半径 ρ＋dρ の円弧を、φ̂ の向きに。長さ (ρ＋dρ)dφ）: Γ₂ ＝ F_φ(ρ＋dρ)·(ρ＋dρ)dφ。
3. 辺 3（φ＋dφ の辺を、ρ̂ と逆向きに戻る）: 進む向きが −ρ̂ なので符号が逆。Γ₃ ＝ −F_ρ(φ＋dφ) dρ。
4. 辺 4（半径 ρ の円弧を、φ̂ と逆向きに戻る。長さ ρ dφ）: Γ₄ ＝ −F_φ(ρ)·ρ dφ。
5. 向かい合う辺を組にする（5〜6 行目）。辺 1 と辺 3 は、F_ρ を φ と φ＋dφ で比べた差になる: Γ₁＋Γ₃ ＝ −[F_ρ(φ＋dφ) − F_ρ(φ)]dρ ≈ −∂F_ρ/∂φ · dρ dφ。辺 2 と辺 4 は、「ρF_φ という量」を ρ＋dρ と ρ で比べた差: Γ₂＋Γ₄ ＝ [(ρ＋dρ)F_φ(ρ＋dρ) − ρF_φ(ρ)]dφ ≈ ∂(ρF_φ)/∂ρ · dρ dφ。ρ が微分の中に入るのは、円弧の長さが半径に比例するから（div と同じ理屈）。
6. 面積 ρ dρ dφ で割る（7〜8 行目）。(∇×F)_z ＝ (1/ρ)[∂(ρF_φ)/∂ρ − ∂F_ρ/∂φ]。上の円柱座標の rot の 3 行目と一致します。
7. 省いたこと: ρ̂ 成分・φ̂ 成分も、それぞれ ρ̂ に垂直な四角（φ–z の面）・φ̂ に垂直な四角（z–ρ の面）で、同じ手順で導けます（このページでは、式の検算だけ）。小さな四角の 4 辺の循環 ÷ 面積が、式と一致することは、自作の検算プログラム（非公開） で確かめています（一辺 10⁻³ の四角）。

rot の導き方（球座標の r̂ 成分）。円柱座標の ẑ 成分と同じ手順を、半径 r の球面の上の小さな四角（θ〜θ＋dθ、φ〜φ＋dφ。図 9b の球面の面）にあてはめます。r̂ の向き（外向き）から見て反時計まわりを正とします（θ̂ × φ̂ ＝ r̂）。四角の辺の長さは、θ の向きの辺が r dθ、φ の向きの辺は緯線の円弧で r sinθ dφ（θ と θ＋dθ で、緯線の半径が違うので、長さも違う）。

1. 辺 1（φ の辺を θ̂ の向きに。長さ r dθ）: Γ₁ ＝ F_θ(φ)·r dθ。
2. 辺 2（θ＋dθ の緯線の円弧を、φ̂ の向きに。長さ r sin(θ＋dθ) dφ）: Γ₂ ＝ F_φ(θ＋dθ)·r sin(θ＋dθ) dφ。
3. 辺 3（φ＋dφ の辺を、θ̂ と逆向きに戻る）: Γ₃ ＝ −F_θ(φ＋dφ)·r dθ。
4. 辺 4（θ の緯線の円弧を、φ̂ と逆向きに戻る）: Γ₄ ＝ −F_φ(θ)·r sinθ dφ。
5. 向かい合う辺を組にする（5〜6 行目）。Γ₁＋Γ₃ ＝ −[F_θ(φ＋dφ) − F_θ(φ)]·r dθ ≈ −r ∂F_θ/∂φ · dθ dφ。Γ₂＋Γ₄ ＝ r[sin(θ＋dθ)F_φ(θ＋dθ) − sinθ F_φ(θ)]dφ ≈ r ∂(sinθ F_φ)/∂θ · dθ dφ。sinθ が微分の中に入るのは、緯線の円弧の長さが sinθ に比例するから（円柱の ρ と同じ理屈）。
6. 面積 r² sinθ dθ dφ で割る（7〜8 行目）。分子には r が 1 つ、分母には r² があるので、r が 1 つ消えて、(∇×F)_r ＝ (1/(r sinθ))[∂(sinθ F_φ)/∂θ − ∂F_θ/∂φ]。上の球座標の rot の 1 行目と一致します。
7. 省いたこと: θ̂ 成分・φ̂ 成分も、それぞれ θ̂ に垂直な四角（φ–r の面）・φ̂ に垂直な四角（r–θ の面）で、同じ手順で導けます（このページでは、式の検算だけ。3 成分とも、直交座標の rot を射影したものと一致することを確かめています）。四角の面積は、厳密には r²(cosθ − cos(θ＋dθ)) dφ で、r² sinθ dθ dφ との差は、四角を小さくすると消えます。小さな四角の 4 辺の循環 ÷ 面積が、式と一致することは、自作の検算プログラム（非公開） で確かめています（一辺 10⁻³ の四角）。

③ 具体例（数値）

線電荷の形 F ＝ ρ̂/ρ（4 章の右下の図と同じ場）: 円柱座標の式で ρF_ρ ＝ 1 なので、div ＝ 0（ρ ≠ 0）。点 ρ ＝ 0.8、φ ＝ 0.4、z ＝ 0.1 で、円柱座標の式を数値微分すると 0.000、直交座標の (x, y, 0)/(x² ＋ y²) を数値微分しても 0.000。点電荷の形 F ＝ r̂/r²: r²F_r ＝ 1 なので、div ＝ 0（r ≠ 0）。r ＝ 1.2、θ ＝ 0.7、φ ＝ 0.3 で、球座標の式 0.000、直交座標の (x, y, z)/r³ で 0.000。比べる例 F ＝ ρ̂（大きさ 1 で外向き）: div ＝ 1/ρ で、ρ ＝ 0.5 では、円柱座標の式 2.000、直交座標の (x, y, 0)/√(x² ＋ y²) で 2.000。

10. マクスウェルの方程式へ（このコーナーの道具との対応）

ひとことで: マクスウェルの方程式は、これまでの 4 つの道具（div・rot・2 つの定理・恒等式）だけで読めます。4 本の式を、1 本ずつ、「どの道具で・何を言っているか」に分けて読みます。

上の式は、真空中・SI 単位の微分形です。1 本ずつ読みます。

1. ∇·E ＝ ρ/ε₀（4 章の div）: 電場の湧き出しは、電荷のあるところにある（この章の ρ は電荷密度で、9 章の半径 ρ とは別）。ρ ＞ 0（正の電荷）なら湧き出し、ρ ＜ 0 なら吸い込み、ρ ＝ 0（電荷のない場所）なら 0。比例の定数が 1/ε₀。
2. ∇·B ＝ 0（4 章の div）: 磁場には、湧き出しも吸い込みもない。7 章の ∇·(∇×A) ＝ 0 から、B ＝ ∇×A と書けることと同じ内容です（逆向き ∇·B ＝ 0 ⇒ ∇×A の形に書ける、は、全空間などふつうの領域で成り立ちます）。
3. ∇×E ＝ −∂B/∂t（5 章の rot）: 磁場が時間とともに変わるところには、電場の渦がともなう。右辺が 0（磁場が変わらない）なら ∇×E ＝ 0 で、（閉じた道を、領域の中で 1 点に縮められる領域では）E ＝ −∇V と書けます（3・7 章）。
4. ∇×B ＝ μ₀J ＋ μ₀ε₀ ∂E/∂t（5 章の rot）: 電流と、電場の時間変化（変位電流）があるところには、磁場の渦がともなう。両辺の div をとると、∇·(∇×B) ＝ 0 から、電荷の保存の式が出ます（マクスウェルのコーナーの 4 章）。
5. 単位の確かめ（自作の計算）: どの式も、両辺の単位がそろいます。① ∇·E は V/m²、ρ/ε₀ は (C/m³)/(F/m) ＝ V/m²。③ ∇×E は V/m²、∂B/∂t は T/s ＝ (V·s/m²)/s ＝ V/m²。④ ∇×B は T/m、μ₀J は (T·m/A)(A/m²) ＝ T/m、μ₀ε₀ ∂E/∂t は (s²/m²)(V/(m·s)) ＝ V·s/m³ ＝ T/m（T ＝ V·s/m²）。
6. 読み方の注意: どれも同じ時刻・同じ点の場の関係を表す式です。「時間変化が渦をつくる（原因と結果）」と読む説明も多いのですが、場の源は電荷と電流で、この 2 本は因果を表さない、とする見方もあり、異論あり。

積分の形（4 本）は、次のとおりです。8 章の 2 つの定理（ガウス・ストークス）で、微分の形と行き来できます（その 1 段ずつの導き方は、マクスウェルのコーナーの 6 章）。

どの式を、どの章の道具で読むか

左の列は、マクスウェルの方程式のコーナーの、その式の章へのリンクです。

それぞれの式が、どんな実験・考え方から来たか、波動方程式の導出は、マクスウェルの方程式の解説コーナーで扱います（ポインティングの定理の導出は、7 章）。