電位・電気力線・波のつながり | 電流の正体

波の高さ — 図をクリック（ドラッグ）すると、調べる位置 x を動かせます

上: 電位（往路の導線の電位＝ V/2。復路は、その符号を逆にした −V/2）。下: 電流 I（往路。復路は −I）。縦の白い線が、調べる位置 x です。接線は、その場所の傾き（∂/∂x）を示します。

つながり — 傾き → 変化 → 傾き → 変化

2 つの式の、左辺（変化）と右辺（傾き）が等しいことは、自作の検算プログラム（非公開）で、ソルバーが、機械の精度で満たすことを確かめています（相対誤差 10⁻¹³）。L′・C′ は、線の単位長さあたりのインダクタンスと静電容量（Z₀ ＝ √(L′/C′)、v ＝ 1/√(L′C′)）。

断面の電位と電気力線 — 調べる位置 x の断面。電圧 V(x, t) に比例して、山と谷が育つ

表示: 2D 3D（電位の地形）両方電気力線（本数 ∝ |V|）等電位線（値つき）電位の色坂の向き（断面内の電場 E⊥ ＝ −∇⊥φ）磁力線（本数 ∝ |I|）エネルギーの流れ S（⊗ 負荷へ／⊙ 電源へ）

断面（2D）。琥珀・青の線: 電気力線（隣り合う線の間の電束が一定なので、電圧が上がると、線が増える）。水色の円: 磁力線（隣り合う線の間の磁束が一定。電流が増えると、線が増える）。緑: 等電位線。電気力線と磁力線は、いつも直交します。

電位の地形（3D）。往路の導線は山、復路の導線は谷。ドラッグで回転。

線に沿った断面の列 — 場所ごとの、電気力線・磁力線・エネルギーの流れ

表示: 電気力線（本数 ∝ |V|）磁力線（本数 ∝ |I|）エネルギーの流れ（矢印） V と I の曲線

8 か所の断面を並べました。断面ごとに、電気力線の本数は、その場所の電圧 V に、磁力線の本数は、電流 I に比例します。矢印は、エネルギーの流れ（長さ ∝ V·I。負荷の向きが右）。整合した負荷では、V と I は同じ形で進み、矢印は、いつも右向きです。開放・短絡の負荷では、反射した波が重なって、電気力線が多い場所（V の腹）では磁力線がほとんどなく、磁力線が多い場所（I の腹）では電気力線がほとんどない、という入れ替わりが見えます（定在波。エネルギーの流れの向きも、行ったり来たりする）。ドラッグで回転。

導線を含む面の電位 — 波が進むと、電位の山と谷が、動いていく

表示: 2D（色） 3D（電位の地形）両方

横軸: 線の長さ方向 x（左が電源、右が負荷）。縦軸: 2 本を結ぶ向き y。往路（上）の導線の電位＝＋V/2、復路（下）＝ −V/2 で、そのあいだを、電位が滑らかにつなぎます。

作り方・省略したこと

線の条件（図の数値）: 導線の半径 a ＝ 0.564 mm（断面積 1 mm²）、中心間 6a ＝ 3.4 mm、まわりは一様な絶縁体（εr ＝ 2.3）が全空間に、線の長さ 3 m。Z₀ ≒ 139 Ω、波の速さ ≒ 0.659 c。直流は、立ち上がり 0.3 ns のステップ、交流は 100 MHz。
波は、線路の数値シミュレーション（テレグラファー方程式）で、他のページと同じものです。断面の電位・電気力線は、導線を焦点の線電荷に置き換えた厳密解（検算: 導線の表面が等電位、断面内の電場 E⊥ ＝ −∇⊥φ）を、各位置の電圧 V(x, t) 倍したものです。断面内の場は、2 次元のラプラス方程式（静電場）の解と同じ形で、完全導体で、一様な絶縁体なら、どの周波数でも厳密に成り立ちます（TEM 波）。被覆線のように、絶縁体が一様でないと、近似（準 TEM）になります。
電位の地形の x 方向の坂は、電場ではありません。導線に沿う電場は、完全導体の TEM 波では 0 です。電位 φ（＝ V·Φ）の x 方向の坂 −∂φ/∂x は、ベクトル・ポテンシャルの時間変化 −∂A_x/∂t（電流の変化がつくる誘導起電力）と、ちょうど打ち消し合い、E_x ＝ −∂φ/∂x − ∂A_x/∂t ＝ 0 になります（∂V/∂x ＝ −L′∂I/∂t は、この条件そのもの）。断面の中の電位差（E⊥ の線積分）は、ゲージによらず決まります。x 方向の電位の変化は、ローレンツ・ゲージでのスカラー・ポテンシャルの変化です。
電気力線の本数は、電圧に比例します（隣り合う線の間を通る電束が一定。ただし、線が新しく現れる途中を除く）。
磁力線は、等電位線と同じ円の族です（TEM 波では、ベクトル・ポテンシャル A_x と電位 φ が、断面内で同じ形 Φ(y, z) をもつ: A_x ＝ L′·I·Φ、φ ＝ V·Φ。値の比は、前進波なら 1/v ですが、反射があると変わります）。隣り合う線のあいだの磁束が一定になるよう、Φ を等間隔に引き、本数は電流 I に比例します。電気力線と直交することは、自作の検算プログラム（非公開）で確かめています。
エネルギーの流れは、断面のどの点でも、E×H（大きさ ∝ |E|²）。断面全体で積分すると V·I になることを、数値積分で確かめています: …
電気力線の動き方: 線の本数は、電圧に比例して、隣り合う線のあいだの電束が一定になるよう引いています。電圧が変わると、線は連続に動き、まん中の軸のあたりから、左右 1 本ずつ現れます（現れる線は、薄いところから、浮かび上がる）。線は、表示のための等電束の等高線で、物理的に実在する「ひも」ではありません。場の形そのものは、電圧によらず同じで、大きさだけが変わります（本数が変わって見えるのは、「1 本あたりの電束を固定した」という描き方の約束です）。
開放・短絡・内部抵抗: 負荷の反射係数は Γ ＝ (R_L − Z₀)/(R_L + Z₀)（開放＋1、短絡 −1）。電源の内部抵抗が 0 の理想の電圧源では、戻ってきた波が、電源端で、また反射し（Γ_s ＝ −1）、損失がないので、いつまでも往復し続けます（現実の線では、導線の抵抗・放射で、しだいに減る）。内部抵抗を Z₀ にすると、戻ってきた波は、電源端で吸収されます。
完全導体: 導線の中の電場は 0、電位は断面内で一定（±V/2）で、電荷・電流は表面だけにあります。内部インダクタンス・表皮効果は含みません。絶縁体の εr ＝ 2.3 は、周波数によらない（分散なし）。電源と負荷は、集中定数の抵抗で、端での 3 次元的な場の乱れは含みません。2 本は、±の電荷が釣り合う平衡線路（コモンモードなし）で、これが「中点を 0 V」の根拠です。
交流の発電機は、入れた時刻から 1/4 周期かけて、なめらかに立ち上げています（表示のための処理。実際のスイッチは、瞬時の段差です）。短絡（負荷の抵抗＝ 0）で、電源の内部抵抗 Rs も 0 のときは、往復 1 回ごとに電流が 2V₀/Z₀ ずつ増え続けます（理想の電圧源と、損失のない線のモデル）。図は、±1.3 I₀ で切っています。交流でも、線の長さが半波長の整数倍に近いと、共振して増え続けます。
電気力線の基準は、いつも V₀（V₀ で 24 本）、磁力線の基準 I₀ は、負荷の設定で変わります（直流・有限の抵抗なら V₀/(R_L ＋ R_s)、それ以外は V₀/Z₀）。電気力線と磁力線の本数の比は、設定をまたいで比べないでください。
式 ∂I/∂x ＝ −C′∂V/∂t は、電荷の保存（∂λ/∂t ＋ ∂I/∂x ＝ 0、λ ＝ C′V）から出ます。アンペール・マクスウェルの法則の発散をとると電荷の保存になるので、「2 本のあいだの変位電流が、導線の電流の減り分を受け持つ」と読めます。
導線は、損失なし（抵抗 0）。端（電源・負荷）での場の乱れや、放射は含みません。3D の電位の地形は、高さを見やすく拡大した、概念表示です。

出典と確認の状況: このページは、Claude（Anthropic の AI）の支援で作っています（Powered by Claude）。式（テレグラファー方程式、反射係数、Z₀・L′・C′、断面の電位・電場、ポインティング・ベクトル）は、電磁気学・伝送線路の標準的な結果で、〔自作の計算〕として、このサイトのコード（model.js）で計算し、自作の検算プログラム（非公開）で検算しています（結合方程式 10⁻¹³、断面の電位・電場、断面積分 ≒ 1）。式そのものの出どころは、〔Claudeの知識〕です。これらが載っている書籍（例: Pozar『Microwave Engineering』、Jackson『Classical Electrodynamics』、Griffiths『Introduction to Electrodynamics』）の本文は、読んでいません（章・節・式番号は不明）。書籍を「参考にした」とは、書いていません。できる限り Web で裏づけを取ろうとしましたが、限界があります。間違いがあれば、教えてください。種別の凡例と、全出典の状況は、出典・参考文献。